Математикам из Университета Монаша удалось решить многовековую геометрическую головоломку, возникшую еще в XVII веке, что позволило по-новому взглянуть на уравнение, первоначально предложенное философом и математиком Рене Декартом.

Их открытие, опубликованное в Journal of Geometry and Physics, расширяет известную теорему Декарта о круге, которая определяет связь между четырьмя взаимно касательными окружностями. Эта теорема стала основополагающей для геометрии, однако математики многих поколений пытались расширить ее на конфигурации более чем с четырьмя окружностями. До недавнего времени им это не удавалось.

Доцент Дэниел Мэтьюз, математик из Школы математики Университета Монаша, и кандидат наук Орион Зимарис нашли уравнение, которое управляет этими более крупными узорами касательных окружностей, известными как n-цветы.

Их доказательство, основанное на современных математических методах, включающих спиноры — объекты, которые также играют роль в квантовой механике и теории относительности, — решает проблему, которая оставалась открытой более 380 лет.

В 1643 году французский философ и математик Рене Декарт поставил перед принцессой Елизаветой Пфальцской задачу, которая была связана с геометрией и касалась построения окружности, которая была бы касательной к трем заданным окружностям. Однако, несмотря на свои способности, принцесса Елизавета не смогла решить задачу Декарта.

«Когда он переработал задачу до практически решаемой, это стало известно как классическая теорема Декарта об окружности, — сказал доцент Мэтьюз. — Другие обобщили результат другими способами, но это первое расширение результата, дающее явное уравнение, связывающее радиусы произвольного числа окружностей на плоскости».

Зимарис, чье докторское исследование привело к прорыву, подчеркнул неожиданные связи с другими областями математики и физики.

«В нашем подходе использовались передовые геометрические инструменты, вдохновленные физикой, что было удивительно, — отметил он. — Спиноры широко используются в физике, особенно в квантовой механике. Мы использовали версию спиноров, разработанную лауреатом Нобелевской премии Роджером Пенроузом и Вольфгангом Риндлером, которую они применили к теории относительности».

«Оказывается, те же самые математические структуры, которые описывают квантовый спин и относительность, также помогают нам понимать упаковки кругов», — добавил Зимарис.

«Это открытие — захватывающий пример того, как классические проблемы могут вдохновлять новую математику столетия спустя, — сказал доцент Мэтьюз. — Невероятно, что вопрос, над которым Декарт бился в 1600-х годах, все еще имеет новые ответы, которые ждут своего часа».

Ранее другие математики доказали, что четырехчастное разбиение Генри Дьюдени 1907 года равностороннего треугольника на квадрат является оптимальным. Используя диаграммы соответствия, исследователи из JAIST и MIT показали, что трехчастного решения не существует. Это стало первым формальным доказательством оптимальности в задачах разбиения. Их работа нашла применение в математике, инженерии и материаловедении.