Профессор Ратгерского университета разгадал две величайшие загадки математики

Выдающийся профессор математики из Ратгерса решил две важнейшие проблемы, которые ставили в тупик специалистов на протяжении десятилетий. Он решил задачу 1955 года о нулевой высоте и добился значительных успехов в теории Делиня-Луштига, что позволило расширить теоретические приложения в ряде наук.

Профессор Ратгерского университета в Нью-Брансуике, посвятивший себя разгадке тайн высшей математики, решил две отдельные фундаментальные проблемы, которые десятилетиями ставили в тупик математиков. Эти открытия могут значительно углубить понимание симметрий в природных и научных структурах, а также долгосрочного поведения случайных процессов в различных областях, включая химию, физику, машиностроение, информатику и экономику.

Фам Тиеп, заслуженный профессор математики Джошуа Барлаза на факультете математики Рутгерской школы искусств и наук, завершил доказательство гипотезы о нулевой высоте, выдвинутой в 1955 году Рихардом Брауэром, ведущим немецко-американским математиком, умершим в 1977 году.

Доказательство этой гипотезы, которая считается одной из самых сложных задач в теории представлений конечных групп, было опубликовано в сентябрьском номере журнала Annals of Mathematics.

«Догадка — это идея, которая, по вашему мнению, имеет определенную обоснованность, — сказал Тиеп, который думал о проблеме Брауэра на протяжении большей части своей карьеры и интенсивно работал над ней последние 10 лет. — Но гипотезы должны быть доказаны. Я надеялся продвинуться в этой области. Я не ожидал, что смогу решить эту задачу».

В некотором смысле Тиеп и его коллеги следуют плану задач, которые Брауэр изложил для них в серии математических гипотез, выдвинутых и опубликованных в 50–60-х гг.

«Некоторые математики обладают редким интеллектом, — говорит Тиеп о Брауэре. — Они как будто прилетели с другой планеты или из другого мира. Они способны видеть скрытые явления, которые не видят другие».

Во втором достижении Тиеп решил сложную проблему так называемой теории Делинье-Луштига — это часть фундаментального механизма теории представлений. Прорыв касается следов — важной характеристики прямоугольного массива, называемого матрицей.

След матрицы — это сумма ее диагональных элементов. Работа подробно описана в двух статьях, одна из них опубликована в Inventiones mathematicae, а вторая — в Annals of Mathematics.

«Высококачественная работа Тиепа и его опыт в области конечных групп позволили Рутгерсу сохранить статус ведущего мирового центра в этой области», — сказал Стивен Миллер, заслуженный профессор и заведующий кафедрой математики.

Он добавил, что одним из величайших достижений математики XX века стала классификация так называемых — возможно, ошибочно, — простых конечных групп. Это синоним Рутгерса — многие из самых интересных примеров были открыты здесь. По его словам, работа Тиепа принесла  факультету международную известность.

По мнению Тиепа, выводы, сделанные в результате решения, могут значительно расширить понимание математиками следов. Решение также позволяет понять, что может привести к прорыву в других важных проблемах математики, включая гипотезы, выдвинутые математиком Джона Томпсона из Университета Флориды и израильским математиком Александром Лубоцким.

Оба открытия — это достижения в области теории представлений конечных групп, подмножества алгебры. Теория представлений — важный инструмент во многих областях математики, включая теорию чисел и алгебраическую геометрию, а также в физических науках, в том числе в физике частиц.

С помощью математических объектов, известных как группы, теория представлений также используется для изучения симметрии в молекулах, шифрования сообщений и создания кодов с коррекцией ошибок. Следуя принципам теории представлений, математики берут абстрактные фигуры в евклидовой геометрии — некоторые из них чрезвычайно сложны — и преобразуют их в массивы чисел.

Этого можно достичь, определив нужные точки, существующие в каждой трехмерной или более высокой фигуре, и преобразовав их в числа, расположенные в строках и столбцах. Обратная операция тоже должна работать, говорит Тиеп: нужно уметь восстанавливать форму из последовательности чисел.

В отличие от многих своих коллег в области физических наук, которые часто используют сложные устройства для продвижения своей работы, Тиеп использовал только ручку и бумагу для проведения своих исследований, которые на данный момент вылились в пять книг и более 200 статей в ведущих математических журналах.

Он записывал математические формулы или предложения, указывающие на логические цепочки. По его словам, он также ведет постоянные беседы — лично или по Zoom — с коллегами, когда они шаг за шагом разбирают доказательство. Тиеп добавил, что прогресс может быть и от внутреннего размышления. По его словам, идеи «вспыхивают», когда он меньше всего этого ожидает.

«Тиеп и соавторы получили ограничения на следы, которые настолько хороши, насколько мы могли ожидать, — сказал Миллер. — Это сложная тема, которая важна со многих точек зрения, поэтому прогресс идет тяжело, а приложений много».

Ранее Фонд Джереми Коллера и Тель-Авивский университет объявили конкурс под названием Coller Dolittle Challenge for Interspecies Two-Way Communication. Хотя использование искусственного интеллекта не является обязательным, команда говорит, что технология может повысить шансы на успех. «Я убежден, что ИИ поможет нам раскрыть секрет межвидового общения», — сказал Джереми Коллер, председатель фонда.