Ум в движении: почему нам труднее считать крупные суммы денег
Новая книга известного когнитивного психолога Барбары Тверски посвящена Амосу Тверски, «чей ум всегда был в движении». Амос Тверски был её мужем и соавтором Даниеля Канемана. Книга «Ум в движении. Как действие формирует мысль» недавно вышла в издательстве «Альпина нон-фикшн». Здесь Барбара Тверски описывает механизмы пространственного мышления. Inc. публикует отрывок, посвящённый тому, как наш мозг обрабатывает информацию о числах и цифрах.
Предельная абстракция в ранжировании — это число. Великий уравнитель, оно лишено контекста. Одновременно и простое, и сложное. Существует две числовые системы: система приблизительных количеств (в которой чисел на самом деле нет) и система точных чисел (в которой они есть). Они разделены в развитии, в мозге, в эволюции и в истории культуры. Система приблизительных количеств в состоянии ответить на вопрос, чего больше. Но только система точных чисел может дать ответ на вопрос сколько.
Первая система опирается на непосредственное восприятие, вторая работает как с памятью, так и с восприятием. Числа обобщают. Люди обладают способностью понимать и моделировать не только транзитивные, но и отношения противоположного типа — нетранзитивные отношения доминирования (типа игры «камень- ножницы-бумага» с использованием определённых жестов, одновременно показываемых игроками друг другу). В математике это, например, циклические отношения превосходства между особыми — нетранзитивными — игральными кубиками, где кубик А чаще побеждает В, В — С, а С — А.
Система приблизительных количеств
Оказывается, количественные оценки — простое дело. Младенцы, приматы и голуби способны на приблизительные сравнения количеств, несовершенные, но достаточно правильные. Это значит, что в той или иной форме способность к количественной оценке имеет глубокие корни в эволюции и не зависит от умения считать или владения точными числами. Достаточно ранжирования по количеству. Нелегко даются точные вычисления.
Школьная математика сложна; младшеклассники и даже школьники постарше испытывают трудности с умножением и делением — так называемой простой арифметикой. Контраст двух этих систем многое проясняет. Числовые «достижения» у живых существ, не владеющих речью или имеющих другие системы репрезентации, не могут быть связаны с символами или словами, они должны быть непосредственными и прямыми.
Система приблизительных количеств имеет выраженные признаки сходства с системой формирования суждений о времени, яркости, приятности, ярости и т. д. Она имеется у животных, имеется и у людей. Она подвержена ошибкам, особенно с ростом количественных показателей. Различать большие количества или степени интенсивности труднее, чем маленькие. Эта система способна в рудиментарной форме на примерную оценку, сложение, вычитание, даже умножение и деление. Она может давать примерные оценки в пространстве — приблизительное количество предметов, — а также во времени — приблизительное количество событий. Неудивительно, что разные зоны мозга, занимающиеся этими оценками, частично пересекаются и в то же время являются до некоторой степени независимыми.
В частности, все сравнения активизируют обширную сеть, включающую в себя внутритеменную борозду — область, в целом участвующую в пространственном мышлении. При численных сравнениях особенно высока — относительно других — активность левой внутритеменной борозды и правой височной зоны. Эти частичное наложение и частичная независимость, очевидные в поведении, неизбежно отражаются в частичном наложении и частичной независимости в мозге.
Следствия ранжирования
Формирование линейных порядков — жизненно важная способность, как социальная, так и когнитивная. Для ранжирования нужно выделить один атрибут из комплекса разных объектов и упорядочить их по этому атрибуту, игнорируя бесчисленное множество других. Когда рейтинг составлен, он позволяет делать выводы, имеющие фундаментальное значение для поведения и мышления. Рейтинги этим и исчерпываются, они не содержат точных численных показателей. Они обладают рядом ключевых характеристик, каждая из которых имеет значимые отличия от точных чисел. Одна из них — это символическая дистанция: сравнивать далеко отстоящие друг от друга объекты проще и быстрее, чем находящиеся рядом.
Например, мы быстрее отвечаем, что 81 больше 25, чем что 81 больше 79. Далее, это семантическая конгруэнтность: проще и быстрее сравнивать малые количества по параметрам «меньше» или «мельче» и большие количества по параметрам «больше» или «крупнее».
Более того, нижний предел числового континуума ассоциируется с левой стороной, а верхний — с правой в тех языках, где считают и читают слева направо. Это явление называется эффектом пространственно-числовой ассоциации ответных реакций, или SNARC-эффектом (от англ. «spatial-numerical association of response codes»).
В языках, где числа располагают справа налево, соответствие, похоже, является обратным. Мы отметили еще одну отличительную особенность ранжирования — транзитивный логический вывод: если А больше/крупнее/меньше, чем В, а В — чем С, то А больше/крупнее/меньше, чем С.
Пожалуй, самой важной характеристикой ранжирования в уме является то, что чувствительность выше у нижнего предела континуума, чем у верхнего. Применительно к числам это значит, что мы более чувствительны к разнице между 1 и 2, чем между 81 и 82.
Мы, как и другие живые существа, лучше воспринимаем разницу в весе легких объектов, чем тяжелых, разницу между тусклыми источниками света, чем между яркими. Эти воспринимаемые различия — вес и яркость — укоренены даже в периферической нервной системе. Относительно больше нейронов активизируется при увеличении интенсивности у нижней границы, чем при высоких уровнях интенсивности. Большая чувствительность к различиям у нижней границы шкалы, нежели у верхней, называется законом Вебера — Фехнера.
Мы более восприимчивы к разнице сладости крекеров, чем пахлавы, к разнице между маленькими суммами денег, чем между большими. Мы говорим «один или два», «несколько», «немного», затем перепрыгиваем к «много», «множество».
Даже высокообразованные люди, принимающие решения о судьбе больших денежных сумм, подвержены этому искажению. Как таковых отличий нет: разница между 1 и 2 и между 81 и 82 одна и та же — единица. Разница между расстояниями в 1 и 2 мили и в 1001 и 1002 мили одинакова, на покрытие этой разницы в обоих случаях уйдет одинаковое количество бензина. Люди и другие живые существа имеют быструю и удобную, обширную и полезную систему для отслеживания и сравнения количеств, не основанную на формальных значениях как таковых. В отличие от отношения к числам, индифферентным к своим местам на числовой прямой, система приблизительных количеств дает искажения, приписывая относительно более высокий вес меньшим количествам, нежели большим.
Возникает серьезный вопрос, не иррационально ли это. Если да, то почему эволюция этого не исправила? Бесспорно, потому что это быстрый, полезный, удобный промах. Данное искажение, как и многие другие, может устранить — но не всегда — культурная эволюция, медленное развитие систем измерения, подсчета и вычисления.
Система точных чисел
Эволюция не выправила искажений системы приблизительных количеств, но это по силам системе точных чисел. Числа индифферентны к своему местоположению на числовой прямой. В бюджете каждый доллар учитывается одинаково. При строительстве моста каждый метр учитывается одинаково. Система точных чисел необходима для счета, арифметики, математики, инженерных разработок, естественных и гуманитарных наук, искусств и бесчисленного множества культурных явлений, норм, законов, традиций, нововведений и открытий, нуждающихся в точных расчетах.
Без системы счета и, что важно, системы записи почти ничего необходимого нам в повседневной жизни не существовало бы. Однако человечество многие тысячелетия обходилось без системы точных чисел и во многих изолированных районах не знают ее до сих пор: там могут прикинуть, но не вычислить. Система точных чисел — продукт культуры. В противоположность системе приблизительных количеств ее приходится изучать в школе и дома. Даже простейшая математическая задача — счет — требует репрезентации чисел, обычно словами.
Удивительно, что сегодня существуют племена, в языках которых нет соответствующих слов. Одно из этих племен, пираха, живет изолированно в Амазонии. В языке племени отсутствует даже слово «один». Тем не менее пираха способны сравнить размеры двух групп вещей, отличающихся только на один объект, если выложить эти вещи рядами, чтобы было легко выполнить соотнесение один к одному. Иначе говоря, они понимают соответствие один к одному, хотя не умеют считать. Однако если сравнение нужно сделать по памяти или если объекты не выложены рядами, результаты резко ухудшаются. Задачу уже нельзя решить соотнесением один к одному: нужно считать.
Другая группа туземцев Амазонии, мундуруку, имеет слова для обозначения чисел до пяти. Этот народ блестяще справляется с приблизительными оценками, но его представители не могут точно посчитать. Столь же поразительны различия нейрональных субстратов систем приблизительных количеств и точных чисел.
Пациенты с повреждением мозга могут лишиться одной из систем, сохранив другую. В неповрежденном мозге эти две системы взаимодействуют и кооперируются. Будучи разделены эволюционно и в мозге, они стали интегрированными. Дети, лучше прикидывающие количества, оказались более успешными в математике. Более того, тренировка способности к приблизительным вычислениям повышает и результативность использования системы точных чисел.
